Fungsi linear, kuadrat, rasional, irasional dan grafik berserta contoh soalnya

 

Assalammualaikum WR. Wb
Saya Dyah Ayu Permatasari (12)
Kelas XI IPS 2

HOLLA!
Untuk hari ini saya akan mencoba untuk menjelaskan mengenai Contoh Soal  Fungsi linear, kuadrat, rasional, irasional dan grafik 
Langsung saja kita ke pembahasannya, mohon maaf sebelumnya apabila ada kesalahan kesalahan yang saya jelaskan dalam blog ini.

1. fungsi linier satu variabel
jika f(2) sama dengan 7 dan f(5) sama dengan 16, maka persamaan fungsi liniernya adalah ... ?

jawab :
f(x) = ax + b
f(2) = a(2) + b = 7      → 2a + b = 7
f(5) = a(5) + b = 16    → 5a + b = 16
                                      ----------------- -
                                        -3a    = - 9
                                           a = -9/-3
                                           a = 3
2a + b = 7
2(3) + b = 7
6 + b = 7
b = 7 - 6
b = 1

jadi persamaan fungsi liniernya adalah f(x) = 3x + 1


2. ibu membeli 2 buku dan 3 pensil, ibu membayar Rp 7.000,
jika harga buku sama dengan harga 2 pensil, berapa harga masing" ?

jawab:
2 buku + 3 pensil = 7000
buku = 2 pensil
2 (2 pensil) + 3 pensil = 7000
4 pensil + 3 pensil = 7000
7 pensil = 7000
pensil = 7000/7
pensil = 1000

buku = 2 pensil
buku = 2 (1000)
buku = 2000


3. sebuah fungsi dinyatakan dengan f(x) = ax + b, jika f(2) sama dengan 13, dan f(4) sama dengan 23 , maka f(10) sama dengan berapa?

jawab:
f(x) = ax + b
f(4) = 4a + b = 23
f(2) = 2a + b = 13
         ----------------- -
          2a = 10
             a = 10/2
             a = 5

2a + b = 13
2 (5) + b = 13
10 + b = 13
b = 13 - 10
b = 3

f(x) = 5x + 3
f(10) = 5(10) + 3
        = 50 + 3
        = 53


4. mana diantara fungsi dibawa ini yang termasuk fungsi linier?
a) 2x² + 3x + 5 = 0
b) 6x + y + 9 = 0
c) (2x + 3)(x - 2) = 0
d) 5x³ + 4x + 6 = 0

jawab:
untuk pilihan a variabel x nya memiliki derajat 2 (pangkat 2) maka a bukan fungsi linier
untuk pilihan b variabelnya memiliki derajat 1 maka b merupakan fungsi linier


5. jika f(5) = 50
dan f(15) = 150 
maka f(x) = ... ?

jawab : 
f(x) = ax + b
f(15) = 15a + b = 150
f(5) = 5a + b = 50
         --------------------- -
          10a = 100
              a = 100/10
              a = 10

5a + b = 50
5(10) + b = 50
50 + b = 50
         b = 50 - 50
         b = 0

6. Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat f(x)=2x2−4x+5 adalah 

Karena f(x)=2x2−4x+5, berarti a=2,b=−4,c=5.
Absis titik balik dinyatakan oleh
xp=−b2a=−−42(2)=1
Substitusikan x=1 pada f(x)=2x2−4x+5, sehingga diperoleh
yp=f(1)=2(1)2−4(1)+5=3
Jadi, koordinat titik balik grafik fungsi kuadratnya adalah (xp,yp)=(1,3)

7. Grafik fungsi 

$y=a{x}^2+bx+c$ tampak seperti pada gambar berikut.

Jika nilai diskriminannya dinyatakan oleh $D$, maka pernyataan yang benar adalah 

Parabola terbuka ke bawah, artinya $a$ bernilai negatif.
Parabola tidak memotong sumbu-$X$, artinya $D$ bernilai negatif.
Parabola memotong sumbu-$Y$ di bawah sumbu-$X$, artinya $c$ bernilai negatif.
Jadi, pernyataan yang benar asalah $a<0;c<0;D<0$

8. Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, lalu pakailah grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggaplah |a| = 1.

Pembahasan dari grafik di atas, dapat kita ketahui bahwasannya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan. Serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Sehingga asimtot horizontal serta vertikal dari grafik di atas secara berturut-turut yaitu y = –1 dan x = 2. Maka dari itu, persamaan dari grafik di atas yaitu:

yang mana adalah bentuk dari pergeseran fungsi y = 1/x.

9.

10. Dari tindakan irasional : Antonius pergi bermain dengan mengendarai sepeda motor padahal jarak yang ingin dia tuju hanya 2km dengan beralasan akan lebih cepat  dan praktis serta biayanya murah dibandingkan dengan mengendarai sepeda. Padahal jika diperhitungkan dengan ongkos yang dipakai akan lebih boros mengendarai sepeda motor.

Menarik akar pangkat dua suatu bilangan rasional n, akan menghasilakan suatu bilangan rasional, apabila bilangan itu merupakan suatu kuadrat bilangan rasional. Apabila n bukan kuadrat dari suatu bilangna rasional, maka haslnya adalah suatu bilangan irrasional.

---

Menentukan nilai aproksimasi akar pangkat dua dari bilangan yang bukan merupakan kuadrat pangkat dua bilangan rasional, dapat dilakukan dengan 3 cara;

---

• Cara pertama

Cara ini dilakukan seperti mencari akar suatu bilangan dengan cara biasa.

---

• Cara kedua

Misalkan kita ingin mencari nilai aproksimasi dari

3  terletak antara 1² dan 2² atau 1 < 3 < 4, jadi 1<  < 4. Selanjutnya:

(1,7)²= 2,69<3<3,24=(1,8)², jadi 1,7<  < 1,8

(1,73)²= 2,9929<3<3,0276=(1,74)², jadi 1,73<  < 1,74

(1,732)²= 2,99824<3<3,003289=(1,733)², jadi 1,732<  < 1,733

(1,73205)²= 2,9999972<3<3,001704=(1,7321)², jadi 1,73205<  < 1,7321

Dengan melakukan cara ini terus menrus, maka akan diperoleh nilai aproksimasi ang mendekati

---

• Cara ketiga

1. Tentukan suau bilangan yang kuadratnya mendekati bilangan yang ingin dicari nilai aproksimasinya. Tidak penting, apakah bilangan itu lebih besar atau lebih kecil
2. Bagilah bilangan yang ingin dicari akarnya itu dengan bilangan yang dipilih tadi
3. Jumlahkan hasilnya dengan bilangan-bilangan yang dipilih tadi, lalu dibagi dua
4. Hasil dari 3 adalah merupakan nilai aproksimasi yang mendekati harga yang ingin dicari tadi

Daftar Pustaka : 

https://brainly.co.id/tugas/7779592

https://bumirayacitymall.com/

https://www.gurupendidikan.co.id/pengertian-irasional/

Menurut saya acara live streaming radiodistik tadi sangat bermanfaat untuk banyak anak muda dalam berkreasi. Karena lomba lomba yang diadakan memicu anak muda untuk jauh lebih berkreasi dan kretif ditengah pandemi saat ini. Selain itu acaranya juga sangat bagus 

Contoh soal nilai optimal minimum

 Holla!

Saya Dyah Ayu Permatasari (11) XI IPS 2

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

model matematika program linear

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.

Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000

Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

200x + 180y ≤ 72.000

150x + 170y ≤ 64.000

x ≥ 0

y ≥ 0

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :

Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.

Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.

Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :

Menggunakan garis selidik

Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim

Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0)

Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

garis selidik

Cara 2 (syarat b > 0)

Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

cara membuat garis selidik fungsi

Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

Langkah 1 menggambar grafiknya

contoh soal program linear

Langkah 2 menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.

Lankah 3 menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

menyelidiki nilai optimum

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

Contoh Soal 2

Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

pembahasan soal

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar adalah:

A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.

B(3, 6)

C(8, 2)

D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

B(3, 6) \longrightarrow f(3, 6) = 4(3) + 5(6) = 42

C(8, 2) \longrightarrow f(8, 2) = 4(8) + 5(2) = 42

D(8, 0) \longrightarrow f(8, 0) = 4(8) + 5(0) = 32

Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Contoh Soal 3

Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Pembahasan 3:

Diketahui:

contoh soal model matematika

Dengan syarat:

Kapasitas tempat: x + y ≤ 400

Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 5x + 2y \le 1.250

x ≥ 0

y ≥ 0

Diagramnya:

grafik fungsi linear

Titik ekstrim:

A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel

C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang

B(x_B, y_B) dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

penyelesaian pertidaksamaan program linear

Sehingga jumlah masimum:

Apel: 150 kg

Pisang: 250 kg

Daftar Pustaka : https://www.studiobelajar.com/program-linear/

SOAL TRANSFORMASI DAN PENYELESAIANNYA

Assalammualaikum WR. Wb
Saya Dyah Ayu Permatasari
Kelas XI IPS 2

HOLLA!
Untuk hari ini saya akan mencoba memberi contoh soal transformasi dan pneyelesaiannya.
Langsung saja kita ke pembahasannya, mohon maaf sebelumnya apabila ada kesalahan kesalahan yang saya jelaskan dalam blog ini.

1. Diketahui C(-4, 7) direfleksikan terhadap garis y = -x. Maka koordinat bayangan titik C adalah …

Jawaban :

Misal C’(x, y) adalah koordinat bayangan titik C, maka:

Contoh Soal Transformasi Geometri no 3

Jadi, koordinat bayangan titik C adalah (-7, 4).

2. Tentukan bayangan titik D(3, 2) jika dilatasikan terhadap pusat (-1, -2) dengan skala -3!

Jawaban :

Misal

D’(x, y) adalah bayangan titik D

Maka

Contoh Soal Transformasi Geometri no 4

Jadi, bayangan titik D adalah (-7, -2).

3. Tentukan bayangan titik E(3, 7) jika direfleksikan terhadap sumbu x lalu dilanjutkan dengan dilatasi pada pusat (0, 0) dengan skala 2.

Jawaban :

Misal:

E’(p, q) merupakan bayangan titik E jika direfleksikan terhadap sumbu x, maka

E’’(r, s) merupakan bayangan titik E’ jika dilatasikan pada pusat (0, 0) dengan skala 2.

Refleksi titik E pada sumbu x adalah

Dilatasi titik E’ pada pusat (0, 0) dengan skala 2 adalah

4. a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Tentukan bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Pembahasan
Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:

a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

5.

Dari gambar di atas persegi panjang warna abu - abu merupakan hasil dari perbesaran persegi panjang warna putih..
Karena dilatasi ini kita gambarkan dalam bidang cartesius, maka untuk memperbesar gambar atau mengkalikan gambar kita dilatasikan setiap titinya.

Dilatasikan titik (5,5) dengan 2 kali perbesaran  dengan titik pusat (0,0)
jawab :
x = 4 
y = 4
k = 2
titik pusat (0,0) 
Pembahasan:
A(x,y) →D(0,0):k = A' (kx, ky)
A(5,5) →D(0,0):2 = A' (2(4), 2(4))
                           = A' (8, 8)
Untuk membuktikan jawaban ini benar perhatikan kembali gambar bidang cartesius di atas tadi.

6. Persamaan bayangan dari lingkaran x² +y² +4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks  adalah…. 

A. x² + y² – 6x – 4y- 3 = 0

B. X² + y² – 6x + 4y- 3 = 0

C. x² + y² + 6x – 4y- 3 = 0

D. x² + y² – 4x + 6y- 3 = 0

E. x² + y² + 4x – 6y+ 3 = 0

Jawaban : A

Pembahasan : 

7. T1 dan T2 adalah transformasi yang masing-masing bersesuaian dengan Ditentukan T = T1 o T2 , maka transformasi T bersesuaian dengan matriks…

Jawaban : E

Pembahasan : 

8.Persamaan peta kurva y = x² – 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan factor skala 3 adalah…

A. 3y + x² – 9x + 18 = 0

B. 3y – x² + 9x – 18 = 0

C. 3y – x² + 9x + 18 = 0

D. 3y + x² + 9x + 18 = 0

E. y + x² + 9x – 18 = 0 

Jawaban : A

Pembahasan : 

pencerminan terhadap sumbu x:

P ( x , y ) → P ‘ ( x , – y )

Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan factor skala 3 :

[O, k] : P(x,y) → P'(kx, ky)

[O,3k] : P(x,y) → P'(3x, 3y)

pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai
dengan pusat O dan factor skala 3 :

P(x,y) → P ‘(x, -y) → P ”(3x, -3y)

9. Bayangan titik A (4,1) oleh pencerminan terhadap garis x =2 dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5 adalah titik…. 

A. A” (8,5) 

B. A” (10,1)

C. A” (8,1) 

D. A” (4,5)

E. A” (20,2)

Jawaban : B

Pembahasan : 

Jawabannya adalah B

10. T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks  dan T2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks  Bayangan A (m,n) oleh transformasi T1 o T2 adalah (-9,7). Nilai m+n sama dengan…

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

E. 8 

Jawaban : B

Pembahasan : 

Jawabannya adalah B

Daftar Pustakan :

• https://rumuspintar.com

• https://matematikastudycenter.com

• https://soalkimia.com