Soal Dan PembahasanTrigonometri

Assalammualaikum wr wb  👋

Perkenalkan saya Dyah Ayu Permatasari (12) dari kelas X IPS 2
Disini saya akann menulis mengenai Soal dan Pembahasan Trigonometri untuk memenuhi tugas Matematika saya tanggal 5 Mei 2020

• Nyatakan besar sudut berikut ke dalam satuan radian!

1)  Dik  : 30° 20′ 15”
     Dit   : Radian ?
    Jwb  : kita ketahui bahwa:
1” = (1/3600)°
1′ = (1/60)°
1° = 0,0174 radian, maka:
30° 20′ 15”
= 30° + 20.(1/60)° + 15.(1/3600)°
= (108000/3600)° + (1200/3600)° + (15/3600)°
= (109215/3600)°
= (109215/3600).0,0174 radian
= 0,53 rad


2) Dik : 106° 20′
     Dit : Radian?
   Jwb : kita ketahui bahwa:
1′ = (1/60)°
1° = 0,0174 radian, maka:
106° 20′ = 106° + 20.(1/60)°
106° 20′ = (318/3)° + (1/3)°
106° 20′ = (319/3)°
106° 20′ = (319/3).0,0174 radian
106° 20′ = 1,85 rad.


3) Nyatakan sudut 0,45 radian dan 0,89 radian ke dalam satuan derajat!

      Dik : sudut 0,45 radian dan 0,89
      Dit  : Derajat ?
     Jwb : 
0,45 radian = 0,45 x 180°/π
0,45 radian = 25,80°

0,89 radian = 0,89 x 180°/π
0,89 radian = 51,02°

4) Dik : 90^o 
     Dit  : Radian ?
    Jwb :
360^o = 2 pi radian = 2(3,14) radian = 6,28 radian
180^o = pi radian = 3,14 radian
90^o = ½ pi radian = ½ (3,14) = 1,57

5)   Dik : 40 radian
      Dit  : Derajat ?
     Jwb : 

6,28 radian = 360^o
40 radian/6,28 = (6,37)(360^o) = 2292,99^o

6) Dik  : sin 120°+cos 201°+cos 315°!
     Dit   : Hasil nilai ?
    Jwb  :

sin 120° berada pada kuadran 2, hingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti sin 120° = sin (180-60)° = sin 60° = 1/2 √3

cos 120° berada pada kuadran 3, hingga nilainya negatif dengan besar sama seperti cos 120° = cos (180+30)° = – cos 30° = -1/2 √3

cos 315° berada pada kuadran 4, hingga nilainya positif dengan besar sama seperti cos 315° = cos (360-45)° = cos 45° = 1/2 √2

7) Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah 
    Dik : 

         Dit  :
        Jwb :

Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni 

$-{30}^{\circ }$.
Karena satu putaran sama dengan ${360}^{\circ }$, maka $-{30}^{\circ }$ sama dengan $(360-30{)}^{\circ }={330}^{\circ }$Jadi, besar sudutnya adalah ${330}^{\circ }$

8) Dik : Nilai dari sin60∘1+cos60∘=
   Dit   : Penyelesaiannya?
   Jwb :
Dengan memasukkan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewanya, diperolehsin60∘1+cos60∘=12√31+12=12√332=13√3Bentuk yang nilainya setara dengan 13√3 adalah tan30∘

9) Dik : Segitiga ABC siku sikudi B. Jika ∠A 30∘ . Jika BC = 6 cm,
Dit : Panjang AC

$AC=\cdots \text{cm}$.

      Jwb :

Karena panjang sisi yang diketahui adalah 

$BC$ (sisi depan sudut) dan panjang sisi yang ditanyakan adalah $AC$ (sisi miring), maka perbandingan trigonometri yang digunakan adalah sinus (de/mi).
$\begin{array}{cc}\sin {30}^{\circ }& =\frac{BC}{AC}\\ \frac{1}{2}& =\frac{6}{BC}\\ BC& =6\times \frac{2}{1}=12\text{cm}\end{array}$
Jadi, panjang sisi AC = 12 cm

10) Dik : Segitiga 
$ABD$ siku-siku di $A$ dan segitiga $BCD$ siku-siku di $C$

    Dit : Tentukan panjang $CD$

  Jwb : 

Pada segitiga siku-siku $ABD$, panjang $AD$ dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri cosinus.
$\begin{array}{cc}\cos {45}^{\circ }& =\frac{AB}{BD}\\ \frac{1}{2}\sqrt{2}& =\frac{10}{BD}\\ BD& =10\times \frac{2}{\sqrt{2}}=10\sqrt{2}\text{cm}\end{array}$
Pada segitiga siku-siku $BCD$, panjang $CD$ juga dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri cosinus.
$\begin{array}{cc}\cos {60}^{\circ }& =\frac{CD}{BD}\\ \frac{1}{2}& =\frac{CD}{10\sqrt{2}}\\ CD& =10\sqrt{2}\times \frac{1}{2}=5\sqrt{2}\text{cm}\end{array}$
Jadi, panjang CD = 5√2 cm

11) Dik  : koordinat kutub (6√3, 60°)      Dit   : koordinat kartesiusnya         Jwb :koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius              (r , α) ⇒ ( x , y )r = 6√3 ;         α = 60° (Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)x = r cos α⇒ 6√3 x cos 60°⇒ 6√3 x 1/2⇒ 3√3
y = r sin α⇒ 6√3 x sin 60°⇒ 6√3 x 1/2 √3⇒ 3 x 3⇒ 9sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)  

12) Dit : Koordinat kutub titik (-4,4) ialah ...........    Jwb :(x,y)⇒ (r, α)x = -4, y=4(karena x negatif dan y positif, maka α sudut di kuadran II) =r = 
⇒
⇒
⇒tan α = x/y⇒4/ - 4⇒ - 1karena α sudut di kuadran II, maka : α = (180-45)°= 135°maka koordinat kutubnya ialah ( 4√2, 135°)
13) Dit : Koordinat kutub dari titik A(−5,−5) adalah…      Jwb :

Titik A(−5,−5) artinya titik A berada di kuadran III dimana x=−5 dan y=−5

r=√x2+y2=√(−5)2+(−5)2=√25+25=5√2

tanα=yx=−5−5=1

tanα=tan(180+45∘)=tan225∘

α=225∘

Bentuk umum koordinat kutub adalah (r,θ)

Jadi koordinat kutubnya adalah (5√2,225∘)

14) Dik  : (f o g)(x) = 2x + 4 dan f(x) =x – 2. 
       Dit   : fungsi g (x)!
      Jwb  :  (f o g)(x) = 2x + 4

f(g(x)) = 2x + 4

g(x) – 2 = 2x + 4

g(x) = 2x + 4 + 2

g(x) = 2x + 6

Jadi, fungsi g (x) adalah g(x) = 2x + 6.

15) Tentukan f(x) jika (f o g)(x) = 4x + 6 dan g(x) = 2x + 5.

(f o g)(x) = 4x + 6

f(g(x)) = 4x + 6

f (2x + 5) = 4x + 6

Misal u = 2x + 5, maka x = ½(u-5), sehingga:

f (2x + 5) = 4x + 6

f (u) = 4(½(u-5)) + 6

f (u) = 2u – 10 + 6

f (u) = 2u – 4

f (x) = 2x – 4

Jadi, fungsi f(x) = 2x – 4.

16) Dik  : fungsi f (x) = 3x − 1 dan g (x) = 2×2 + 3. 
       Dit  : Nilai dari komposisi fungsi ( g o f )(1) =….?

      Jwb  :

f (x) = 3x − 1 dan g (x) = 2×2 + 3
( g o f )(1) =…?

Masukkanlah f (x) nya pada g (x) lalu isi dengan 1
(g o f) (x) = 2 (3 x − 1) 2 + 3
(g o f) (x) = 2 (9 x 2 − 6x + 1) + 3
(g o f) (x) = 18x 2 − 12x + 2 + 3
(g o f) (x) = 18×2 − 12x + 5
(g o f) (1) = 18 (1) 2 − 12(1) + 5 = 11

17) Jika (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Berapakah nilai dari f(3)?

(f o g)(x) sama dengan x² + 3x + 4
f (g(x)) sama dengan x² + 3x + 4
g(x) sama dengan 3 Jadi,
4x – 5 sama dengan 3
4x sama dengan 8
x sama dengan 2
f (g(x)) = x² + 3x + 4 dan untuk g(x) sama dengan 3 didapat x sama dengan 2
Hingga : f (3) = 2² + 3 . 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

18) Dik : Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

       Dit  : tan 153°
       Jwb  :

Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.

tan 153° = tan (180° − 27°)

= -tan 27°

19) Dik :  Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

       Dit : sin 243°
      Jwb :
Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 243° = sin (270° − 27°)

= -cos 27°

20) Dik : Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

•         Dit : cos 333°

       Jwb :

Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 333° = cos (360° − 27°)

= cos 27°

$\mathrm{21)\; Dik\; :\; tan}\alpha =\frac{1}{a}$ dengan $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$, 
       Dit  : nilai dari cosα−1sinα sama dengan
     Jwb  : 

Karena α berada di kuadran I, maka semua nilai perbandingan trigonometri bertanda positif.
Diketahui bahwa tanα=desa=1a, sehingga dapat dimisalkan bahwa panjang sisi depan sudut de=1 dan panjang sisi samping sudut sa=a.
Dengan demikian, panjang sisi miring (hipotenusa) pada segitiga siku-siku adalah
mi=√(de)2+(sa)2=√12+a2
Untuk itu, didapat
cosα−1sinα=sami−mide=a√1+a2−√1+a21=a−(a2+1)√a2+1=−a2+a−1√a2+1
Jadi, nilai dari cosα−1sinα=−a2+a−1√a2+1

22) Dik : Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60o dan ∠BAC = 30o

       Dit : panjang BC = … cm

     Jwb : AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC

4cm/sin 60 = BC/sin30

4cm/½√3 = BC/½

BC = ½ × 4cm/½√3

BC = 4cm/√3

BC = 4/3 √3 cm

Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm

23) Dik:  sebuah segitiga ABC dengan panjang AB = 9cm dan BC = 12cm. Jika besar ∠ ABC = 30o

        Dit :  tentukan luas segitiga ABC!

      Jwb :L = ½ a t

• Misal a = AB, maka t adalah garis tegak lurus AB ke titik C berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/BC

t = BC × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC

L = ½ × 9cm × 12cm × Sin 30o

L = ½ × 9cm × 12cm × ½

L = 27cm2

• Misal a = BC, maka t adalah garis tegak lurus BC ke titik A berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/AB

t = AB × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × BC × AB × Sin ∠ABC

L = ½ × 12cm × 9cm × Sin 30o

L = ½ × 12cm × 9cm × ½

L = 27cm2

Jadi,  luas segitiga ABC adalah 27cm2.

24) Dik : Jika panjang BC = 12 cm

     Dit : tentukan panjang AB!   Jwb :
25) Dik : Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi a sama dengan 8 cm, panjang sisi b sama dengan 7 cm, dan panjang sisi c sama dengan 9 cm.        Dit : Tentukanlah besar sudut B!      Jwb :Berdasarkan aturan cosinus:

⇒ cos B =	a2 + c2 − b2
	2ac

⇒ cos B =	82 + 92 − 72
	2(8)(9)

⇒ cos B =	64 + 81 − 49
	144

⇒ cos B =	96
	144

⇒ cos B = 0,66
⇒ B = 48o

Jadi, besar sudut B yaitu 48o.
26) Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …Dik : Sudut elevasi = 30°          Jarak = 150 m          Tinggi = 120 cmDit : Tinggi menara ?Jwb  :

tan 30⁰ = 

x =   . 150  

x = 50√3  

Jadi tinggi menara adalah

= x + tinggi Budi

= 50√3 m + 120 cm

= 50√3 m + 1,2 m

= (50√3 + 1,2) m

27) Andi berdiri tegak pada jarak 10√3 m dari kaki sebuah pohon besar yang tumbuh gerak lurus. Jika tinggi Andi 1,6 m dan melihat ke puncak pohon dengan sudut elevasi 60°. Tentukan tinggi pohon tersebut?

Dik : Jarak =10√3 m 

         Tinggi Andi = 1,6 m

         Sudut elevasi = 60°

Dit : Tinggi pohon 

Jwb : tan 60⁰ = 

x = √3 . 10√3

x = 30

Jadi tinggi pohon adalah

= x + tinggi Andi

= 30 m + 1,6 m

= 31,6 m

28) Seorang anak dengan tinggi 160 cm berdiri pada jarak 12 m dari kaki tiang bendera. Jika sudut depresi dari puncak tiang terhadap anak adalah 45° maka tinggi tiang bendera itu adalah

Dik: Tinggi anak = 160 cm

         Jarak = 12 m

         Sudut depresi = 45° 

Dit : Tinggi tiang bendera ?

Jwb : tan 45⁰ = 

1 = 

x = 12  

Jadi tinggi tiang bendera adalah

= x + tinggi anak

= 12 m + 160 cm

= 12 m + 1,6 m

= 13,6 m

29) Dik :Jika tan 5°= p. 

        Dit :tan 50°

      Jwb :

an 50° = tan (45° + 5°)

= tan 45° + tan 5°/1 – tan 45° x tan 5°

= 1 + p/1 – p

Jadi, hasilnya adalah = 1 + p/1 – p

30) Dit : Tentukan periode, nilai maksimum, dan nilai minimum fungsi = f(x)=2sin3x

      Jwb :Bentuk umum fungsi sinus tersebut adalah 

$f\left(x\right)=a\sin kx$.
Oleh karena fungsi $f\left(x\right)=2\sin 3x$, maka $a=2$ dan $k=3$.
Periode $=\frac{{360}^{\circ }}{k}=\frac{{360}^{\circ }}{3}={120}^{\circ }$
Nilai maksimum $=a=2$
Nilai minimum $=-a=-2$

31) Dit :  Nilai dari sin 2A 
Dik :  nilai Cos A =  dan sudut A berada di kuadran 2
Jwb : Sudut cos merupakan perbandingan antara sisi samping (x) dan miring (r).

  

Untuk mendapatkan nilai sinus, kita membutuhkan nilai sisi depan (y). Gunakan pythagoras agar mendapat nilai sisi depan.

  

  

  

  

Letak sudut berada di kuadran 2, sehingga nilai yang postif hanya untuk fungsi sinus dan cosecan.

  

  

Jadi, nilai Sin 2A adalah

  

  

  

32) Dit : 

Berdasarkan grafik fungsi trigonometri pada soal dapat diperoleh informasi:

1. Nilai Amplitudo: A = 2
 
2. Periode dari 15o sampai 135o adalah 1, sehingga:
     
     
     
 
3. Grafik fungi trigonometri pada soal merupakan grafik dasar fungsi sinus y = Sin x yang digeser ke kana sejauh 15o.

Persamaan umum fungsi sinus adalah:

  

Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan gambar pada soal adalah:

  

  

 33) Dit : Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi 
DIk : 
Jwb :




sehingga




 34) Dit : Bagilah sudut lancip α menjadi 2 bagian, sehingga hasil perkalian kosinus-kosinusnya mencapai nilai maksimum.

Jwb :


 akan maksimum jika , sehingga



35) Dit :


36) Dit : Sebuah gedung yang tingginya 50 m dan terdapat sebuah batu besar di dekat gedung. Jika sudut depresi dari titik puncak gedung terhadap batu tersebut adalah 30⁰ maka jarak batu terhadap dasar gedung tersebut adalah 
Jwb: tan 30⁰ = 

x = 50√3

Jadi jarak batu terhadap dasar gedung tersebut adalah 50√3 m

37) Dit : Iwan memandang puncak sebuah gedung dengan sudut elevasi 60⁰. Tinggi orang Iwan 1,7 m dan jarak Iwan dengan gedung 40√3 m. Tinggi gedung adalah

Jwb : tan 60⁰ = 

x = √3 . 40√3

x = 120  

Jadi tinggi gedung adalah

= x + tinggi Iwan

= 120 m + 1,7 m

= 121,7 m

38) Dit : Joko yang berjarak 12 m melihat puncak sebuah gedung dengan sudut elevasi 60°. Jika tinggi Joko 150 cm, maka tinggi gedung tersebut adalah …

Jwb  : tan 60⁰ = 

x = 12√3  

Jadi tinggi gedung adalah

= x + tinggi Joko

= 12√3 m + 150 cm

= 12√3 m + 1,5 m

= (12√3 + 1,5) m

39) Dit : Sebuah antena dipasang dengan tinggi tiang 8 m dan diberi penguat dari kawat dan membentuk sudut elevasi 30⁰, panjang kawat tersebut adalah …
Jwb :sin 30⁰ = 

x = 2 (8)

x = 16  

Jadi panjang kawat tersebut adalah 16 m

40) Dit : Andi berdiri tegak pada jarak 10√3 m dari kaki sebuah pohon besar yang tumbuh gerak lurus. Jika tinggi Andi 1,6 m dan melihat ke puncak pohon dengan sudut elevasi 60°. Tentukan tinggi pohon tersebut?  

Simak lebih lanjut di Brainly.co.id - https://brainly.co.id/tugas/222788#readmore
Jwb : tan 60⁰ = 

x = √3 . 10√3

x = 30

Jadi tinggi pohon adalah

= x + tinggi Andi

= 30 m + 1,6 m

= 31,6 m

Sekiranya sampai sini saja saya memberikan beberapa contoh soal dan pembahasan 🙌
Semoga bermanfaat

Terimakasih ;)