Assalammualaikum
Dyah Ayu Permatsari X IPS 2
Remedial PAT
3.7 MENGUBAH SATUAN RADIAN DAN DERAJAT
1. Dalam ketidaksamaan berikut, besarnya sudut dinyatakan dalam satuan radian. Ketidaksamaan yang benar adalah ...
Penyelesaian : Diketahui bahwa1 rad
Ini berarti,sin1
Pada kuadran I, semakin besar sudutnya, maka nilai perbandingan sinus semakin besar menuju . Dengan demikian, urutan nilainya bila ditulis dalam bentuk ketaksamaan adalah atau dalam radian ditulis 3 < sin 1 < sin 2
2.
Jawab:
berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti 
berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti 
berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti
3.7 MENYELESAIAN RASIO TRIGONOMETRI
3. Di ketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60°, dan sudut C = 75° jika sin 75° = 0,9659, tentukan panjang BC dan AB
Penyelesaian :
4. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60 dan ∠BAC = 30 , maka panjang BC = … cm.
AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC
4cm/sin 60 = BC/sin30
4cm/½√3 = BC/½
BC = ½ × 4cm/½√3
BC = 4cm/√3
BC = 4/3 √3 cm
Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.
5. segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 6 √3, <A = 60°, <B = 45°.
Maka berapakah panjang B?Pembahasan :
a/sin A = b/sin B
6 √3 / sin 60° = b / sin 45°
6 √3 / ½ √3 = b / ½ √2
B = 6 √2
Jadi, panjang B adalah 6 √2
3.7 MENYELESAIAN RASIO TRIGONOMETRI DALAM KOORDINAT KARTESIUS
6. Pada interval 0°≤x≤ 180°,titik minimum dari y=3 cos(2x-30°) adalah...
jawaban :
Sifat kuadran cos ∅ adalah sebagai berikut:
1. Pada interval 0°≤∅≤90°, cos∅ bernilai positif.
2. Pada interval 90°≤∅≤180°, cos∅ bernilai negatif, atau ditulis dengan cos(180°- ∅) = -cos∅
3. Pada interval 180°≤∅≤270°, cos∅ bernilai negatif, atau ditulis dengan cos(180°+ ∅) = -cos∅
4. Pada interval 270°≤∅≤360°, cos∅ bernilai positif, atau ditulis dengan cos(360°- ∅) = cos∅
Nilai maksimum cos∅ adalah 1, yaitu pada saat ∅ = 0° dan 360°. Atau dapat ditulis dengan:
cos 0° = 1 dan cos 360° = 1
Sedangkan nilai minimum cos∅ adalah -1, pada saat ∅ = 180°. Atau dapat ditulis dengan:
cos 180° = -1
Dari soal akan dicari titik minimum dari y = 3cos (2x-30°) pada interval 0°≤x≤180°. Karena mencari titik minimum pada cosx maka terletak pada cos 180° = -1, sehingga diperoleh:
cos(2x-30°) = cos 180°
2x-30° = 180°
2x = 180°+30°
2x = 210°
x = 210°/2
x = 105°
ingat, bahwa interval x berada pada 0°≤x≤180°, maka selain cos 180° nilai mnimum cosx adalah cos (180°+k.360°) dengan k = perulangan dari grafik fungsi cosx yang berulang setiap 360°. k = 0,1,2,3,.......
Sehingga didapatkan:
cos(2x-30°) = cos (180°+k.360°) untuk k = 1, maka:
cos(2x-30°) = cos (180°+1(360°))
cos(2x-30°) = cos (540°)
(2x-30°) = 540°
2x = 540°+30°
2x = 570°
x = 570°/2
x = 285°
karena untuk k = 1, didapat x = 285° yang terletak di luar interval 0°≤x≤180°, maka tidak perlu lagi menguji nilai untuk k = 2,3, dst.
sehngga nilai x yang memenuhi persamaan tersebut hanya x = 105°.
Selanjutnya, subtituskan nilai x pada persamaan y, sehngga diperoleh:
y = 3cos (2x-30°)
y = 3cos (2(105°)-30°)
y = 3cos (210° - 30°)
y = 3cos 180°
y = 3(-1)
y = -3
Jadi titik minimum dari persamaan tersebut adalah (105°,-3).
7. Diketahui segitiga ABC siku siku di B , AB = 5 cm BC = 12 cm , maka nilai Sin A = ....
10. 1 3/4 π sama juga dengan =
Sin (3x- 30°) = sin 90°
3x - 30° = 90 + k. 360°
3x = 30° + 90 + k. 360°
3x = 120° + k. 360°
x = 40° + k. 120°
k = 0 maka x = 40°
jadi x = 40°
nilai maksimum 2
titik maksimum (40°,2)
13. Jika cotangen x = 3, maka nilai dari 1/1+cos x + 1/1-cos x adalah=
cot x = 3
tan x = 1/ cot x
tan x = 1/3 = y/x
r = √(x² + y²) = √(3²+1²)
r = √10
sin x = y/r = 1/√10
sin² x = (1/√10) = 1/10
1/(1 +cos x) + 1/ (1 - cos x) =
= {1(1 - cos x) +1(1 + cos x)} /(1+cos x)(1 - cos x)
= (1 - cos x + 1 + cos x) / (1 - cos² x)
= 2/sin² x
= 2 / (1/10)
= 10/2
= 5
Jawaban :
Nilai Fungsi
90 < x < 180 , x di kuadran ke II
sin x = 4/5
cos x = √(1 - sin² x) = √(1 - (4/5)²) = √(9/25) = +- 3/5
cos x di KD II, nilai negatif
cos x = - 3/5
tan x = sin x / cos x = (4/5)/(-3/5) = - 4/3
3.7. RASIO DARI BERBAGAI KUADRAN
15. Jika α dan β sudut lancip, tan α = ¾ dan tan β = 1 maka nilai 5(cos (α + β) + cos (α - β) adalah ...
pembahasan:
tan α = ¾, maka sin α = 3/5 dan cos α = 4/5 (gunakan segitiga siku-siku)
tan β = 1, maka sin β = ½ √2 dan cos β = ½ √2 (gunakan segitiga siku-siku)
cos (α + β) = cos α.cos β – sin α.sin β
= 4/5. ½ √2 – 3/5. ½ √2
= 4/10√2 – 3/10√2
= 1/10√2
= √2/10
cos (α - β) = cos α.cos β + sin α.sin β
= 4/5. ½ √2 + 3/5. ½ √2
= 4/10√2 + 3/10√2
= (7√2)/10
Sehingga nilai dari 5(cos (α + β) + cos (α - β) = 5 .( √2/10 + (7√2)/10 ) = 5((8√2)/10) = (40√2)/10 = 4√2
3.8 sUDUT UADRAN BERELASI
16. Diketahui sin α cos β =1/5 dan sin (α-β)=3/5 untuk 0°≤α≤180° untuk 0°≤β≤90°. Nilai sin(α+β)=...
pembahasan
17. Tentukanlah nilai berikut ini.
cos 120º sin 60º
Jawab
cos 120º sin 60º = ½ (sin (A + B) - sin (A - B))
= ½ (sin (120º + 60º) - sin (120º - 60º))
= ½ (sin (180º) - sin (60º))
= ½ (0 - ½√3)
= ½ (-½√3)
= -¼√3
18. Konversikan koordinat kartesius P (4,-3) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui: x = 4 dan y = -3
maka r = √x²+y² = √4²+(-3)² = √25 = 5
α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-3/4)
= -36,69 ° atau -37°
Jadi koordinat kutubnya (5, -37°).
3.8 PERSAMAAN TRIGONOMETRI
19. Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 45°,∠B = 30° dan panjang AC = 6. Tentukan panjang BC !
BCsin45∘=6sin30∘
BC = 6×sin45∘sin30∘
BC = 6×12√212
BC = 6√2
Jadi, panjang BC adalah 6√2
20. sebuah tangga disandarkan pada tembok rumah dengan membentuk sudut 60° terhadap tanah. Jarak antara ujung tangga dan permukaan tanah adalah 2√3. Panjang tangga tersebut ...
Jawaban :
Sebuah tangga disandarkan pada tembok rumah dengan membentuk sudut 60° terhadap tanah.
Berarti :
💿Jarak ujung tangga dengan tembok = sisi dihadapan sudut 30° = a
🔵Panjang tangga = sisi miring = 2a
🔵Jarak antara ujung tangga dan permukaan tanah = sisi dihadapan sudut 60° = a√3
21. Sebuah gedung yang tingginya 50 m dan terdapat sebuah bola di dekat gedung. Jika sudut depresi dari puncak gedung terhadap bola adalah 30∘,30∘, maka tentukan jarak bola ke dasar gedung...
pembahasan:
Perhatikan segitiga ABC, yang ditanyakan nilai xx yang merupakan sisi samping, dan diketahui sisi didepan sudut, sehingga kita menggunakan tan.
tan∠BACtan30∘13–√x=desa=BCBA=50x=50x=
503–√tan∠BAC=desa=BCBAtan30∘=
50x13=50xx=503
Jadi, jarak bola ke dasar gedung adalah 503–√503 m .
22. Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang a = 10 cm c = 12 cm & besar sudut B = 60̊. Hitung panjang sisi b!
pembahasan:
b2 = a2+ c2 – 2ac cos B
b2 = 100+144 – 44 cos 60̊
b2 = 244 – 44(0,5)
b2 = 244 – 22
b2 = 222
b = 14,8997
Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm
3.7 SUDUT ELEVASI,SUDUT DEPRESI
23. Dina melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Dina dan menara yang dilihatnya adalah 180m dan tinggi Dina adalah 150 cm maka tinggi menara tersebut adalah =
Jawab :
Dengan aturan cosinus :
x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. cos 60°
x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. 12
x2 = 28
x = √28 = 2√7
Jadi, nilai x adalah 2√7
25. Dina melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Dina dan menara yang dilihatnya adalah 180m dan tinggi Dina adalah 150 cm maka tinggi menara tersebut adalah =
2.
Jawab:
berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti3.7 MENYELESAIAN RASIO TRIGONOMETRI
3. Di ketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60°, dan sudut C = 75° jika sin 75° = 0,9659, tentukan panjang BC dan AB
Penyelesaian :
4. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60 dan ∠BAC = 30 , maka panjang BC = … cm.
AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC
4cm/sin 60 = BC/sin30
4cm/½√3 = BC/½
BC = ½ × 4cm/½√3
BC = 4cm/√3
BC = 4/3 √3 cm
Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.
5. segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 6 √3, <A = 60°, <B = 45°.
Maka berapakah panjang B?Pembahasan :
a/sin A = b/sin B
6 √3 / sin 60° = b / sin 45°
6 √3 / ½ √3 = b / ½ √2
B = 6 √2
Jadi, panjang B adalah 6 √2
3.7 MENYELESAIAN RASIO TRIGONOMETRI DALAM KOORDINAT KARTESIUS
6. Pada interval 0°≤x≤ 180°,titik minimum dari y=3 cos(2x-30°) adalah...
jawaban :
Sifat kuadran cos ∅ adalah sebagai berikut:
1. Pada interval 0°≤∅≤90°, cos∅ bernilai positif.
2. Pada interval 90°≤∅≤180°, cos∅ bernilai negatif, atau ditulis dengan cos(180°- ∅) = -cos∅
3. Pada interval 180°≤∅≤270°, cos∅ bernilai negatif, atau ditulis dengan cos(180°+ ∅) = -cos∅
4. Pada interval 270°≤∅≤360°, cos∅ bernilai positif, atau ditulis dengan cos(360°- ∅) = cos∅
Nilai maksimum cos∅ adalah 1, yaitu pada saat ∅ = 0° dan 360°. Atau dapat ditulis dengan:
cos 0° = 1 dan cos 360° = 1
Sedangkan nilai minimum cos∅ adalah -1, pada saat ∅ = 180°. Atau dapat ditulis dengan:
cos 180° = -1
Dari soal akan dicari titik minimum dari y = 3cos (2x-30°) pada interval 0°≤x≤180°. Karena mencari titik minimum pada cosx maka terletak pada cos 180° = -1, sehingga diperoleh:
cos(2x-30°) = cos 180°
2x-30° = 180°
2x = 180°+30°
2x = 210°
x = 210°/2
x = 105°
ingat, bahwa interval x berada pada 0°≤x≤180°, maka selain cos 180° nilai mnimum cosx adalah cos (180°+k.360°) dengan k = perulangan dari grafik fungsi cosx yang berulang setiap 360°. k = 0,1,2,3,.......
Sehingga didapatkan:
cos(2x-30°) = cos (180°+k.360°) untuk k = 1, maka:
cos(2x-30°) = cos (180°+1(360°))
cos(2x-30°) = cos (540°)
(2x-30°) = 540°
2x = 540°+30°
2x = 570°
x = 570°/2
x = 285°
karena untuk k = 1, didapat x = 285° yang terletak di luar interval 0°≤x≤180°, maka tidak perlu lagi menguji nilai untuk k = 2,3, dst.
sehngga nilai x yang memenuhi persamaan tersebut hanya x = 105°.
Selanjutnya, subtituskan nilai x pada persamaan y, sehngga diperoleh:
y = 3cos (2x-30°)
y = 3cos (2(105°)-30°)
y = 3cos (210° - 30°)
y = 3cos 180°
y = 3(-1)
y = -3
Jadi titik minimum dari persamaan tersebut adalah (105°,-3).
7. Diketahui segitiga ABC siku siku di B , AB = 5 cm BC = 12 cm , maka nilai Sin A = ....
10. 1 3/4 π sama juga dengan =
Sin (3x- 30°) = sin 90°
3x - 30° = 90 + k. 360°
3x = 30° + 90 + k. 360°
3x = 120° + k. 360°
x = 40° + k. 120°
k = 0 maka x = 40°
jadi x = 40°
nilai maksimum 2
titik maksimum (40°,2)
13. Jika cotangen x = 3, maka nilai dari 1/1+cos x + 1/1-cos x adalah=
cot x = 3
tan x = 1/ cot x
tan x = 1/3 = y/x
r = √(x² + y²) = √(3²+1²)
r = √10
sin x = y/r = 1/√10
sin² x = (1/√10) = 1/10
1/(1 +cos x) + 1/ (1 - cos x) =
= {1(1 - cos x) +1(1 + cos x)} /(1+cos x)(1 - cos x)
= (1 - cos x + 1 + cos x) / (1 - cos² x)
= 2/sin² x
= 2 / (1/10)
= 10/2
= 5
Jawaban :
Nilai Fungsi
90 < x < 180 , x di kuadran ke II
sin x = 4/5
cos x = √(1 - sin² x) = √(1 - (4/5)²) = √(9/25) = +- 3/5
cos x di KD II, nilai negatif
cos x = - 3/5
tan x = sin x / cos x = (4/5)/(-3/5) = - 4/3
3.7. RASIO DARI BERBAGAI KUADRAN
15. Jika α dan β sudut lancip, tan α = ¾ dan tan β = 1 maka nilai 5(cos (α + β) + cos (α - β) adalah ...
pembahasan:
tan α = ¾, maka sin α = 3/5 dan cos α = 4/5 (gunakan segitiga siku-siku)
tan β = 1, maka sin β = ½ √2 dan cos β = ½ √2 (gunakan segitiga siku-siku)
cos (α + β) = cos α.cos β – sin α.sin β
= 4/5. ½ √2 – 3/5. ½ √2
= 4/10√2 – 3/10√2
= 1/10√2
= √2/10
cos (α - β) = cos α.cos β + sin α.sin β
= 4/5. ½ √2 + 3/5. ½ √2
= 4/10√2 + 3/10√2
= (7√2)/10
Sehingga nilai dari 5(cos (α + β) + cos (α - β) = 5 .( √2/10 + (7√2)/10 ) = 5((8√2)/10) = (40√2)/10 = 4√2
3.8 sUDUT UADRAN BERELASI
16. Diketahui sin α cos β =1/5 dan sin (α-β)=3/5 untuk 0°≤α≤180° untuk 0°≤β≤90°. Nilai sin(α+β)=...
pembahasan
17. Tentukanlah nilai berikut ini.
cos 120º sin 60º
Jawab
cos 120º sin 60º = ½ (sin (A + B) - sin (A - B))
= ½ (sin (120º + 60º) - sin (120º - 60º))
= ½ (sin (180º) - sin (60º))
= ½ (0 - ½√3)
= ½ (-½√3)
= -¼√3
18. Konversikan koordinat kartesius P (4,-3) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui: x = 4 dan y = -3
maka r = √x²+y² = √4²+(-3)² = √25 = 5
α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-3/4)
= -36,69 ° atau -37°
Jadi koordinat kutubnya (5, -37°).
3.8 PERSAMAAN TRIGONOMETRI
19. Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 45°,∠B = 30° dan panjang AC = 6. Tentukan panjang BC !
BCsin45∘=6sin30∘
BC = 6×sin45∘sin30∘
BC = 6×12√212
BC = 6√2
Jadi, panjang BC adalah 6√2
20. sebuah tangga disandarkan pada tembok rumah dengan membentuk sudut 60° terhadap tanah. Jarak antara ujung tangga dan permukaan tanah adalah 2√3. Panjang tangga tersebut ...
Jawaban :
Sebuah tangga disandarkan pada tembok rumah dengan membentuk sudut 60° terhadap tanah.
Berarti :
💿Jarak ujung tangga dengan tembok = sisi dihadapan sudut 30° = a
🔵Panjang tangga = sisi miring = 2a
🔵Jarak antara ujung tangga dan permukaan tanah = sisi dihadapan sudut 60° = a√3
21. Sebuah gedung yang tingginya 50 m dan terdapat sebuah bola di dekat gedung. Jika sudut depresi dari puncak gedung terhadap bola adalah 30∘,30∘, maka tentukan jarak bola ke dasar gedung...
pembahasan:
Perhatikan segitiga ABC, yang ditanyakan nilai xx yang merupakan sisi samping, dan diketahui sisi didepan sudut, sehingga kita menggunakan tan.
tan∠BACtan30∘13–√x=desa=BCBA=50x=50x=
503–√tan∠BAC=desa=BCBAtan30∘=
50x13=50xx=503
Jadi, jarak bola ke dasar gedung adalah 503–√503 m .
22. Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang a = 10 cm c = 12 cm & besar sudut B = 60̊. Hitung panjang sisi b!
pembahasan:
b2 = a2+ c2 – 2ac cos B
b2 = 100+144 – 44 cos 60̊
b2 = 244 – 44(0,5)
b2 = 244 – 22
b2 = 222
b = 14,8997
Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm
3.7 SUDUT ELEVASI,SUDUT DEPRESI
23. Dina melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Dina dan menara yang dilihatnya adalah 180m dan tinggi Dina adalah 150 cm maka tinggi menara tersebut adalah =
Jawab :
Dengan aturan cosinus :
x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. cos 60°
x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. 12
x2 = 28
x = √28 = 2√7
Jadi, nilai x adalah 2√7
25. Dina melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Dina dan menara yang dilihatnya adalah 180m dan tinggi Dina adalah 150 cm maka tinggi menara tersebut adalah =
Jawaban :
AC = √(AB² + BC²)
AC = √(5² + 12²)
AC = √(25 + 144)
AC = √(169)
AC = 13 cm
sin A
= BC/AC
= 12/13
3.7 MENYELESAIKAN NILAI TRIGONO PADA SUDUT SEGITIGA
8. Jika cotangen x = 3, maka nilai dari 1/1+cos x + 1/1-cos x adalah=
cot x = 3
tan x = 1/ cot x
tan x = 1/3 = y/x
r = √(x² + y²) = √(3²+1²)
r = √10
sin x = y/r = 1/√10
sin² x = (1/√10) = 1/10
1/(1 +cos x) + 1/ (1 - cos x) =
= {1(1 - cos x) +1(1 + cos x)} /(1+cos x)(1 - cos x)
= (1 - cos x + 1 + cos x) / (1 - cos² x)
= 2/sin² x
= 2 / (1/10)
= 10/2
= 5
9. Dina melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Dina dan menara yang dilihatnya adalah 180m dan tinggi Dina adalah 150 cm maka tinggi menara tersebut adalah =
Dik = Sudut elevasi = 30°
Jarak = 180 m
Tinggi = 150 cm
Dit = Tinggi menara ?
Jawab = menara = y + 1,5 m.
tan 30° = y/180
y = 180 x ¹/₃√3
y = 60√3 m
Jadi tinggi menara tersebut adalah (1,2 + 60√3) m.
7/4 = x/180
315°/180°
11. Jika cot 240°=-tan 30°. Maka tan 30°=?
1/3 akar 3
Atau
Akar 3
3.7 MENYELESAIKAN KOMOSISI NILAI TRIGONOMETRI
12. Pada interval 0° < x < 120° titik maksimum dari y= 2sin (3x - 30°) adalah=
14. Jika sin x = 4/5 dan 90<x<180 maka tan x° =....
Jarak antara ujung tangga dan permukaan tanah = 2√3 m
⇒ a√3 = 2√3 m
⇒ a = 2 m
maka
Panjang tangga tersebut adalah
= 2a
= 2 × 2 m
= 4 m
3.8 ATURAN SINUS 2 SUDUT 1 SISI
Dik = Sudut elevasi = 30°
Jarak = 180 m
Tinggi = 150 cm
Dit = Tinggi menara ?
Jawab = menara = y + 1,5 m.
tan 30° = y/180
y = 180 x ¹/₃√3
y = 60√3 m
Jadi tinggi menara tersebut adalah (1,2 + 60√3) m.
24. Tentukan x dari segitiga berikut !
Dik = Sudut elevasi = 30°
Jarak = 180 m
Tinggi = 150 cm
Dit = Tinggi menara ?
Jawab = menara = y + 1,5 m.
tan 30° = y/180
y = 180 x ¹/₃√3
y = 60√3 m
Jadi tinggi menara tersebut adalah (1,2 + 60√3) m.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar