NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN BESERTA CONTOH SOALNYA

pada t


Untuk dapat memahami materi ini, mari kita simak penjelasan berikut.


Selamat Membaca 😊


.................


Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.

  1. Jika f′(x) bertanda positif, atau f′(x)>0, maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).
  2. Jika f′(x) bertanda negatif, atau f′(x)<0, maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).
  3. Jika f′(x) bertanda netral, atau f′(x)=0, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).

Kondisi suatu fungsi y=f(x) dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi y=f(x) dalam interval I dengan f(x) diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap x di dalam interval I.

  1. Jika f′(x)>0, maka kurva f(x) akan selalu naik pada interval I.
  2. Jika f′(x)<0, maka kurva f(x) akan selalu turun pada interval I.
  3. Jika f′(x)=0, maka kurva f(x) stasioner (tetap/diam) pada interval I.
  4. Jika f′(x)≥0, maka kurva f(x) tidak pernah turun pada interval I.
  5. Jika f′(x)≤0, maka kurva f(x) tidak pernah naik pada interval I.


Perhatikan sketsa grafik suatu fungsi f(x) berikut.

Perhatikan bahwa kurva yang ditandai dengan warna merah adalah ketika fungsi itu dikatakan naik, dan biru untuk fungsi turun. Titik a dan b disebut titik stasioner, yaitu titik di mana fungsi itu diam (tidak naik maupun tidak turun). Fungsi f(x) naik saat x<a atau x>b, sedangkan f(x) turun pada saat a<x<b.


CONTOH SOAL

Contoh 1 

Tentukan nilai limit dari :
limx→∞
 4x + 1x2 - 2
Jawab :
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 - 2. Sehingga :
limx→∞
 4x + 1x2 - 2
⇔ 
limx→∞
 
4xx2
 + 
1x2x2x2
 - 
2x2
⇔ 
limx→∞
 
4x
 + 
1x2
1 - 
2x2
 = 
4∞
 + 
1(∞)2
1 - 
2(∞)2
 = 
0 + 01 - 0
 = 0

Contoh 2

Carilah nilai limit dari :
limx→∞
 2x2 - 5x2 - 3
Jawab :
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2. Sehingga :
limx→∞
 2x2 - 5x2 - 3
⇔ 
limx→∞
 
2x2x2
 - 
5x2x2x2
 - 
3x2
⇔ 
limx→∞
 
2 - 
5x2
1 - 
3x2
 = 
2 - 
5(∞)2
1 - 
3(∞)2
 = 
2 - 01 - 0
 = 2

Contoh 3

Carilah limit dari :
limx→a
 x4 - a4x - a
Jawab :
Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu
limx→a
 x4 - a4x - a = 
a4 - a4a - a
 = 
00
 (bentuk tak tentu)

Jadi hasil faktornya adalah :
⇔ 
limx→a
 (x2 - a2)(x2 + a2)x - a

Sederhanakan lagi untuk : (x2 - a2), sehingga menjadi :
⇔ 
limx→a
 (x - a)(x + a)(x2 + a2)(x - a) = (a + a)(a2 + a2) = 4a3

Contoh 3

Hitunglah nilai limit dibawah ini :
limx→2
 
√x + 2 - √3x - 2
x - 2

Jawab :
Dengan substitusi langsung :
limx→2
 
√x + 2 - √3x - 2
x - 2 = 
√2 + 2 - √3(2) - 2
2 - 2 = 
√4 - √4
0 = 00

Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
limx→2
 
√x + 2 - √3x - 2
x - 2 x 
√x + 2 + √3x - 2
√x + 2 + √3x - 2

limx→2
 (x + 2)(3x -2)(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2)

limx→2
 -2x + 4(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2)

limx→2
 -2(x - 2)(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2) = -2(√2 + 2 + √3(2) - 2) = -2(√4 + √4) = -12

Contoh  4

Carilah nilai limit berikut :
a. 
lim  4x→3

b. 
lim  3xx→3

c. 
limx→2
 3x2

d. 
lim  3x2 + 5x→3

e. 
limx→2
 2x2 + 42x + 2
Jawab :

  a. 
lim  4 = 4x→3 

b. 
lim  3x = 3.(3) = 9x→3

c. 
limx→2
 3x2= 3.(2)2 = 3

d. 
lim  3x2 + 5 = 3.(3)2 + 5 = 32x→3

e. 
limx→2
 2x2 + 42x + 2 = 2.(22) + 42.(2) + 2 = 126 = 2

Contoh 5

Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
limx→2
 
x2 - 4x - 2
Jawab :
Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu
limx→2
 x2 - 4x - 2 = 22 - 42 - 2 = 00 (bentuk tak tentu)

Jadi hasil faktornya adalah :
limx→2
 x2 - 4x - 2 = (x-2)(x+2)(x-2) = (x+2)= (2+2) = 4

Contoh 6

Hitunglah nilai limit dibawah ini :
limx→3
 
x2 - 9√ x2 + 7 - 4
Jawab :
Dengan substitusi langsung
limx→3
 (x2 - 9)√ x2 + 7 - 4 = (32 - 9)√ 32 + 7 - 4 = 00

Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
limx→3
 (x2 - 9)√ x2 + 7 - 4 x √x2 + 7 + 4√ x2 + 7 + 4
⇔ 
limx→3
 (x2 - 9).(√x2 + 7 + 4)(x2 + 7) - 16
⇔ 
limx→3
 (x2 - 9).(√x2 + 7 + 4)(x2 - 9)
⇔ 
limx→3
 (√x2 + 7 + 4) = (√32 + 7 + 4) = 8

Contoh 7 

Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
limx→2
 x2 - 5x + 6x2 - 4
Jawab :
Jika disubstitusi langsung, maka akan didapatkan :
limx→2
 x2 - 5x + 6x2 - 4 = 22 - 5.(2) + 622 - 4 = 00 (bentuk tidak tentu)

Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan mengfaktorkan dan melakukan turunan. Dalam soal no.4 ini kita lakukan dengan turunan :
limx→2
 x2 - 5x + 6x2 - 4 = 2x - 52x = 2.(2) - 52.(2) = -14

Contoh 8

Tentukan nilai limit dari :
limx→∞
 4x - 12x + 1
Jawab :
Perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.
limx→∞
 4x - 12x + 1
⇔ 
limx→∞
 
4xx
 - 
1x2xx
 + 
1x
⇔ 
limx→∞
 
4 - 
1x
2 + 
1x
 = 
4 - 
1∞
2 + 
1∞
 = 
4 - 02 - 0
 = 2

..............

Saya akhiri Belajar Bersama Matematika hari ini semoga kalian paham dengan materi diatas dan bermanfaat bagi kalian semua yang membaca. 

Terimakasih.... Silakan bagikan dan tulis kritik dan saran kalian untuk blog ini di kolom komentar. 😀



Daftar Pustaka:
https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/10/sifat-sifat-limit-fungsi-dan-contohnya.html?m=1
https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/#:~:text=Jika%20f%E2%80%B2(x)%20bertanda,naik%20(disebut%20fungsi%20naik).&text=Jika%20f%E2%80%B2(x)%20bertanda%20netral%2C%20atau%20f%E2%80%B2,(disebut%20juga%20fungsi%20diam).
https://brainly.co.id/tugas/130417
https://bfl-definisi.blogspot.com/2017/10/contoh-soal-limit-fungsi-aljabar-dan.html?m=1