Turunan adalah suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel). Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.
Misal fungsi f memetakan x ke y atau y=f(x), x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat. turunan y=f(x) terhadap x adalah:
Sifat-sifat Turunan
1. Jika f(x)=c f ( x ) = c c c f'(x)=0 f ′ ( x ) = 0
Contoh:\begin{aligned} f(x)&=2 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=13 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=100 &\rightarrow f'(x)=0 \end{aligned} f ( x ) f ( x ) f ( x ) = 2 = 1 3 = 1 0 0 → f ′ ( x ) = 0 → f ′ ( x ) = 0 → f ′ ( x ) = 0
2. Jika f(x)=cx f ( x ) = c x f'(x)=c f ′ ( x ) = c
Contoh: \begin{aligned} f(x)&=2x &\rightarrow &f'(x)=2\\ f(x)&=13x &\rightarrow &f'(x)=13\\ f(x)&=100x &\rightarrow &f'(x)=100 \end{aligned} f ( x ) f ( x ) f ( x ) = 2 x = 1 3 x = 1 0 0 x → → → f ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) = 1 3 f ′ ( x ) = 1 0 0 3. Jika f(x)=x^n f ( x ) = x n f'(x)=nx^{n-1} f ′ ( x ) = n x n − 1
Contoh: \begin{aligned} f(x)&=x^4 &\rightarrow &f'(x)=4x^3\\ f(x)&=x^3 &\rightarrow &f'(x)=3x^2\\ f(x)&=x^2 &\rightarrow &f'(x)=2x \end{aligned} f ( x ) f ( x ) f ( x ) = x 4 = x 3 = x 2 → → → f ′ ( x ) = 4 x 3 f ′ ( x ) = 3 x 2 f ′ ( x ) = 2 x 4. Jika f(x)=cx^n f ( x ) = c x n f'(x)=cnx^{n-1} f ′ ( x ) = c n x n − 1
Contoh: \begin{aligned} f(x)&=2x^4 &\rightarrow &f'(x)=8x^3\\ f(x)&=13x^3 &\rightarrow &f'(x)=39x^2\\ f(x)&=100x^2 &\rightarrow &f'(x)=200x \end{aligned} f ( x ) f ( x ) f ( x ) = 2 x 4 = 1 3 x 3 = 1 0 0 x 2 → → → f ′ ( x ) = 8 x 3 f ′ ( x ) = 3 9 x 2 f ′ ( x ) = 2 0 0 x 5. Jika f(x)=c\,u(x) f ( x ) = c u ( x ) f'(x)=c\,u'(x) f ′ ( x ) = c u ′ ( x )
Contoh: \begin{aligned} f(x)&=4\ln{x}&\rightarrow &f'(x)=4\frac{1}{x}\\ f(x)&=3\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=3\sin{x}\\ f(x)&=2\sin{x}&\rightarrow &f'(x)=-2\cos{x} \end{aligned} f ( x ) f ( x ) f ( x ) = 4 ln x = 3 cos x = 2 sin x → → → f ′ ( x ) = 4 x 1 f ′ ( x ) = 3 sin x f ′ ( x ) = − 2 cos x 6. Jika f(x)=u(x)\pm v(x) f ( x ) = u ( x ) ± v ( x ) f'(x)=u'(x)\pm v'(x) f ′ ( x ) = u ′ ( x ) ± v ′ ( x )
Contoh: \begin{aligned} f(x)&=2x+x^2&\rightarrow &f'(x)=2+2x\\ f(x)&=x^4-x^3&\rightarrow &f'(x)=4x^3-3x^2\\ f(x)&=\sin{x}+\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=\cos{x}-\sin{x} \end{aligned} f ( x ) f ( x ) f ( x ) = 2 x + x 2 = x 4 − x 3 = sin x + cos x → → → f ′ ( x ) = 2 + 2 x f ′ ( x ) = 4 x 3 − 3 x 2 f ′ ( x ) = cos x − sin x 7. Jika f(x)=u(x)v(x) f ( x ) = u ( x ) v ( x ) f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) f ′ ( x ) = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x )
Contoh: f(x)=x^4x^3 f ( x ) = x 4 x 3 Misalkan u(x)=x^4 u ( x ) = x 4 dan v(x)=x^3, v ( x ) = x 3 , maka u'(x)=4x^3 u ′ ( x ) = 4 x 3 dan v'(x)=3x^2, v ′ ( x ) = 3 x 2 , sehingga \begin{aligned} f'(x)&=(4x^3)(x^3)+(x^4)(3x^2)\\ &=4x^6+3x^6\\ &=7x^6 \end{aligned} f ′ ( x ) = ( 4 x 3 ) ( x 3 ) + ( x 4 ) ( 3 x 2 ) = 4 x 6 + 3 x 6 = 7 x 6 8. Jika f(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)} f ( x ) = v ( x ) u ( x ) f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} f ′ ( x ) = ( v ( x ) ) 2 u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x )
Contoh: f(x)=\frac{x^4}{x^3} f ( x ) = x 3 x 4 Misalkan u(x)=x^4 u ( x ) = x 4 dan v(x)=x^3, v ( x ) = x 3 , maka u'(x)=4x^3 u ′ ( x ) = 4 x 3 dan v'(x)=3x^2, v ′ ( x ) = 3 x 2 , sehingga \begin{aligned} f'(x)&=\frac{(4x^3)(x^3)-(x^4)(3x^2)}{(x^3)^2}\\ &=\frac{4x^6-3x^6}{x^6}\\ &=1 \end{aligned} f ′ ( x ) = ( x 3 ) 2 ( 4 x 3 ) ( x 3 ) − ( x 4 ) ( 3 x 2 ) = x 6 4 x 6 − 3 x 6 = 1 9. Jika f(x)={u(x)}^n f ( x ) = u ( x ) n f'(x)=n(u(x))^{n-1}u'(x) f ′ ( x ) = n ( u ( x ) ) n − 1 u ′ ( x )
Contoh: f(x)=(2x+x^2)^4 f ( x ) = ( 2 x + x 2 ) 4 Misalkan u(x)=2x+x^2, u ( x ) = 2 x + x 2 , sehingga u'(x)=2+2x, u ′ ( x ) = 2 + 2 x , maka f'(x)=4\left(2x+x^2\right)^3(2+2x) f ′ ( x ) = 4 ( 2 x + x 2 ) 3 ( 2 + 2 x ) CONTOH SOAL Turunan
Soal No. 1 4 + 2x2 − 5x3 + 7x
Pembahasan n
Sehingga:4 + 2x2 − 5x4− 1 + 2⋅2x2−1 − 5x1-1 3 + 4x1 − 5x0 3 + 4x − 53 + 7x2 + 7
Soal No. 2 Pembahasan 1 1−1 0 0 0−1
Soal No. 3 2 + 4x)Pembahasan 2 + 4x)2 + 20x2 + 8x + 15x + 122 + 13x + 12
Soal No. 4
Pembahasan
Soal No. 5
Pembahasan
Soal No. 6 2 + 2x + 3)(4x + 5)Pembahasan 2 + 2x + 3)
Soal No. 7 Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1) 4
Jawab:
Misalnya:
u(x) = 2x + 1 ⇒ u'(x) = 2 n = 4 n-1 . u'(x)4-1 . 23
Soal No. 8 Tentukan turunan dari y = (x 2 − 3x) 7
Jawab :
y’ = 7(x2 − 3x)7-1 . (2x − 3)2 − 3x)6
Soal No. 9
Tentukanlah turunan fungsi dari f (x ) = 2x (x 4 – 5).
Jawab:
Misalkan jika u (x ) = 2x dan v (x ) = x 4 – 5, maka:
u ‘ (x ) = 2 dan v ‘ (x ) maka = 4x 3
Dengan begitu, akan didapatkan penjabaran serta hasilnya:
f ‘(x ) = u ‘(x ).v (x ) + u (x ).v ’(x ) = 2(x 4 – 5) + 2x (4x 3 ) = 2x 4 – 10 + 8x 4 = 10x 4 – 10
Soal No. 10
Jawab:
Soal ini merupakan soal fungsi yang berbentuk y = aun yang dapat dibahas dan diselesaikan dengan menggunakan rumus y’ = n . a . un-1 . Maka:
Sehingga turunannya adalah:
Sekian materi mengenai pengertian turunan, sifat-sifatnya, serta contoh soalnya. Semoga dapat bermanfaat.
Buku PKS matematika wajib kelas XI SMA/MA, Gematama, Bab 7, halaman 253
https://www.rumusstatistik.com/2018/07/sifat-sifat-turunan.html
yaitu …
