Minggu, 26 Juli 2020

Pembuktian : Langsung, Tak Langsung, Kontradiksi, Induksi Matematika

Assalammualaikum WR. Wb
Saya Dyah Ayu Permatasari
Kelas XI IPS 2

HOLLA!
Untuk hari ini saya akan mencoba unutk menjelaskan mengenai Membuktikan pertidaksamaan keterbagian dengan metode : Langsung, Tak Langsung, Kontradiksi, Induksi Matematika
Langsung saja kita ke pembahasannya, mohon maaf sebelumnya apabila ada kesalahan kesalahan yang saya jelaskan dalam blog ini.



PEMBUKTIAN LANGSUNG

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya sih, “kalau A maka B dan kalau B maka C” hehe. Nah, untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Coba deh kamu buktikan pernyataan ini.
“Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap”
Ya... kalau kita pikir-pikir, ya pasti sih, 2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14. Tapi gimana ya buat bisa membuktikan kalau pernyataan itu berlaku buat semua bilangan genap? Coba perhatikan deh gambar di bawah.
Pembuktian metode langsung
Jadi pertama kamu definisikan dulu tuh bilangan genap itu seperti apa. Bila definisinya sudah benar, lanjut ke pernyataan selanjutnya, maka penjumlahan kedua bilangan itu akan seperti apa. Kamu juga butuh sedikit memanipulasi penjumlahan itu agar bisa mendapat bentuk yang diinginkan.
Setelah itu, lanjut deh ke kesimpulan. Ingat lho, kesimpulannya harus berdasarkan pernyataan sebelumnya. Apakah pembuktian ini berlaku untuk seluruh bilangan genap? Iya, karena di awal sudah disebutkan kalau m dan n adalah bilangan genap sembarang.
CONTOH
1.Buktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.
    Bukti
    Misalkan bilangan tersebut adalah m dan n. Karena m dan n ganjil, maka terdapat bilangan bulat p dan q sedemikian sehingga m=2p+1  dan n=2q+1. Dengan menjumlahkan diperoleh
    m+n=(2p+1)+(2q+1)=2p+2q+2=2(p+q+1)=2k
    Karena m+n=2k untuk bilangan bulat k=p+q+1  maka m+n merupakan bilangan genap berdasarkan definisi bilangan genap.
    Q.E.D.
  1. 2. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap.

    2. Bukti
    Misalkan bilangan tersebut adalah m=2p dan n=2q  dengan suatu bilangan bulat p dan q. Jumlahkan m dan n diperoleh
    m+n=2p+2q=2(p+q)=2k
    Karena m+n=2k untuk bilangan bulat k=p+q, maka m+n adalah bilangan genap.
    Q.E.D.

PEMBUKTIAN TAK  LANGSUNG
Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan salah satu prinsip dalam logika matematika yaitu
kontraposisi matematika
Artinya, kalau mau membuktikan pernyataan p akan menghasilkan pernyataan q itu benar, maka buktikan saja bila bukan q maka akan menghasilkan bukan p. Untuk memahami lebih lanjut coba deh buktikan
“Bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap, maka n bilangan ganjil”
Gimana nih membuktikannya pakai kontraposisi? Misalnya pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap dan pernyataan q adalah n bilangan ganjil. Maka yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil). Coba deh lihat gambar di bawah.
Pembuktian Kontraposisi Matematika
Terbukti kan bila n bukan bilangan ganjil maka 7n + 9 juga bukan bilangan genap? Secara nggak langsung dapat disimpulkan deh bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap maka n bilangan ganjil hehe.
CONTOH
1. Buktikan √2 bukan bilangan rasional 
Bukti: Misalkan √2 adalah bilangan rasional. Perhatikan bahwa yang akan dibuktikan adalah √2 bukan bilangan rasional namun pemisalannya adalah √2 adalah bilangan rasional. Sebagai akibatnya, berdasar definisi dapat disimpulkan bahwa √2 = . Sebagai akibatnya baik p maupun q merupakan bilangan asli dan keduanya tidak memiliki faktor persekutuan selain 1. Dengan mengkuadratkan √2 = sebagai langkah yang valid, akan didapat: 2 = ⇒ p 2 =2q 2 . Karena 2q 2 adalah bilangan genap, maka p 2 nya juga genap. Karena p telah dinyatakan sebagai bilangan asli maka didapat p sebagai bilangan asli genap. Dengan demikian, p memiliki faktor 2. Jika sekarang dimisalkan p = 2r ⇒ (2r) 2 = 2q 2 ⇒ 4r 2 = 2q 2 ⇒ q 2 = 2p
2.Buktikan kebenaran kebalikan teorema Pythagoras, yaitu jika a, b, dan c merupakan ukuran sisi-sisi suatu segitiga ABC yang memenuhi BC 2 + AC 2 = AB 2 , maka segitiga ABC tersebut adalah segitiga siku-siku di C. 
Bukti: Dimisalkan bahwa segitiga ABC tersebut bukan segitiga siku-siku di C. Dengan demikian, ∠C < 90 o atau ∠C > 90 o seperti terlihat pada dua gambar di bawah ini. Tarik segmen garis CD = CA dan CD ⊥ CB seperti terlihat pada gambar di atas. Berdasar terorema Pythagoras akan didapat: BD2 = BC 2 + CD2 . Padahal diketahui bahwa BC 2 + AC 2 = AB 2 . Dengan demikian BD = AB. Sehingga didapat dua segitiga yang samakaki, yaitu ΔACD dan ΔABD. Akibatnya: ∠CDA = ∠CAD ... 1) ∠BDA = ∠ DAB ... 2)

PEMBUKTIAN KONTRADIKSI
Kontradiksi ini juga termasuk pembuktian tidak langsung, Squad. Kita memanfaatkan logika matematika
Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah
Hmm gimana tuh maksudnya? Coba deh kita buktikan pernyataan ini dengan kontradiksi.
“Bila n bilangan bulat dan n bilangan genap maka 7n + 9 bilangan ganjil”
Nah kita misalkan dulu pernyataan p adalah n bilangan genap dan pernyataan q adalah 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Maka dengan kontradiksi, kita buktikan nih misalnya pernyataan n bukan bilangan genap (bilangan ganjil) maka 7n + 9 adalah bilangan ganjil benar, akan muncul suatu kontradiksi. Coba deh perhatikan gambar di bawah.
Pembuktian Kontradiksi Matematika
Lihat kan ternyata ada kontradiksi bila n adalah bilangan ganjil? Maka secara tidak langsung, pernyataan bila n bilangan genap maka 7n + 9 bilangan ganjil benar.
CONTOH
1. Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat ganjil,
q : n² bilangan bulat ganjil
Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p     : n bilangan bulat ganjil,
∼ q : n² bilangan bulat genap.
Karena n bilangan bulat ganjil maka bisa kita asumsikan n = 2k + 1 dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n²  = (2k +1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 (2k² + 2k) + 1,  Jika kita asumsikan 2k² + 2k = m, Maka persamaan menjadi :
n²  = 2m + 1, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat ganjil. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa  n² bilangan bulat genap.  Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.
2.Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat genap,
q : n² bilangan bulat genap
Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p     : n bilangan bulat genap,
∼ q : n² bilangan bulat ganjil.
Karena n bilangan bulat genap maka bisa kita asumsikan n = 2k dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n²  = (2k)² = 4k² = 2 (2k²),  Jika kita asumsikan 2k² = m, Maka persamaan menjadi :
n²  = 2m, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat genap. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat ganjil.  Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap.

PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA
Induksi itu digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli, Squad. Bagaimana langkah-langkah melakukan induksi matematika?
Langkah-langkah induksi matematika

CONTOH 
1. Buktikan bahwa 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2.
Pembahasan:
  • Langkah 1
1^3 = \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 = \frac{2^2}{4}
1 = 1    (terbukti)
  • Langkah 2 (n = k)
1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2
  • Langkah 3 (n = k + 1)
1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3.
 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3   (kedua ruas ditambah (k + 1)^3.
 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3= (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))
 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 = (k + 1)
 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)
 1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)(k + 2)
 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2     {terbukti).
2. Buktikan bahwa 3^{2n} + 2{2n + 2} habis dibagi 5.
Pembahasan:
  • Langkah 1
3^{2(1)} + 2^{2(1)+2} = 3^2 + 2^4 = 9 + 16 = 25    habis dibagi 5 (terbukti)
  • Langkah 2 (n = k)
3^{2k} + 2^{2k+2}
  • Langkah 3 (n = k + 1)
3^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+2}
= 3^{2k+2} + 2^{2k+2+2}
= 3^2(3^{2k}) + 2^2(2^{2k+2})      (dalam kurung dibuat sama
dengan bentuk soal)
=10(3^{2k}) + 5(2^{2k+2}) - 3^{2k} - 2^{2k+2}       (3^2 dibuat 10 dan 2^2 dibuat 5, agar bisa dibagi 5)
= 10(3^{2k}) + 5(2^{2k+2}) - (3^{2k} + 2^{2k+2})
Didapatkan :
  • 10(3^{2k}) habis dibagi 5
  • 5(2^{2k+2})habis dibagi 5
  • -(3^{2k}) + 2^{2k+2}sama dengan langkah 2, habis dibagi 5

Sumber : 




Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)